一(yī)般来(lái)说，设函(hán)数(shù)y=f(x)(x∈A)的值域(yù)是C，若找得到一个函数g(y)在每一处(chù)g(y)都等于(yú)x，这(zhè)样的(de)函数x= g(y)(y∈C)叫做(zuò)函(hán)数(shù)y=f(x)(x∈A)的反函(hán)数，记作y=f-1(x) 。

　　反函(hán)数y=f-1(x)的定(dìng)义域、值域分别是函(hán)数y=f(x)的值域、定义域。

　　最具(jù)有代表性的反函数就(jiù)是对数函数与指(zhǐ)数函数。

　　函(hán)数f(x)与它(tā)的反函数f-1(x)图(tú)象关于(yú)直线y=x对称；

　　函数(shù)及其(qí)反(fǎn)函数的图形关于直线y=x对称；

　　函(hán)数(shù)存(cún)在反函数的充(chōng)要条(tiáo)件是，函数的定(dìng)义域与(yǔ)值域是一一映射等。

　　反(fǎn)函数性质：函数f(x)与它的反(fǎn)函数(shù)f-1(x)图(tú)象关于直线y=x对称；

　　函数(shù)及其反函数的图形(xíng)关于直(zhí)线y=x对(duì)称；

　　函数(shù)存(cún)在反函数的充要条件是(shì)，函数的定义域与值域是一一映(yìng)射的。

　　1、反函数的定(dìng)义域是原函数的值域，反函(hán)数的值域是原函(hán)数的定义(yì)域。

　　2、互为反函数(shù)的两个函数的图(tú)像关于直线y=x对称(chēng)。

　　3、原函数若是奇(qí)函(hán)数，则其反函数为奇函数。

　　4、若函数是单(dān)调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性(xìng)与原(yuán)函数的一致。

　　5、原函数与(yǔ)反函数的图像(xiàng)若有交点，则交(jiāo)点一定在直(zhí)线(xiàn)y=x上(shàng)或关于直线y=x对称出现。

反函数有哪(nǎ)些性(xìng)质

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与(yǔ)它的反函数f-1(x)图象关于直(zhí)线y=x对(duì)称(chēng)；

　　（2）函数(shù)存(cún)在(zài)反函(hán)数的充要条件是，函数(shù)的定义域与值域是一一(yī)映(yìng)射；

　　（3）一(yī)个函(hán)数与它的反函(hán)数在(zài)相应区间上单调性一(yī)致；

　　（4）大部分偶函数(shù)不存在反(fǎn)函数(shù)（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是(shì)常数），则(zé)函(hán)数(shù)f(x)是偶函数且(qiě)有反函(hán)数，其(qí)反函数的(de)定义(yì)域是(shì){C}，值域为{0} ）。

　　奇(qí)函数不一定存在(zài)反函数，被与y轴垂直(zhí)的直线(xiàn)截时(直径26厘米等于多少寸，26厘米等于多少寸英寸shí)能(néng)过2个及以上(shàng)点即没有反函数。

　　腔神若一个奇(qí)函数存在反函数(shù)，则它的反函数也是奇森圆穗(suì)函数(shù)。

　　（5）一段连续的函数的(de)单调性在对(duì)应区间内具(jù)有一致(zhì)性；

　　（6）严增（减）的函(hán)数一定有(yǒu)严格增(zēng)（减）的(de)反(fǎn)函数；

　　（7）反函数是(shì)相(xiāng)互的(de)且具有唯一性；

　　（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

　　（9）反函数的导数关系(xì)：如果x=f(y)在(zài)开区(qū)间I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它的反函(hán)数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

　　（10）y=x的(de)反函数是它本身。

　　扩此卜展资料：

　　反(fǎn)函数定义：

　　设函(hán)数y=f(x)的定义(yì)域是D，值域是f(D)。

　　如果对于(yú)值域f(D)中的每(měi)一个y，在D中有且(qiě)只有一个x使得f(x)=y，则按此(cǐ)对应(yīng)法则(zé)得到(dào)了一(yī)个定义(yì)在f(D)上的函数。

　　并(bìng)把该(gāi)函(hán)数称为函(hán)数y=f(x)的(de)反函数，记为由该定义可以很(hěn)快得出函数f的定义域(yù)D和值域(yù)f(D)恰好就是反函数(shù)f-1的值域和定义域，并且f-1的(de)反(fǎn)函数就是f，也(yě)就是说，函数(shù)f和f-1互为(wèi)反(fǎn)函(hán)数，即(jí)：

　　反(fǎn)函(hán)数与原函数的复合函(hán)数(shù)等于x，即：

　　习惯上我们用x来表示自变量(liàng)，用y来表示(shì)因变量，于是函数y=f(x)的反(fǎn)函数通常写成

　　 。

　　例如，函数  

　　的(de)反函数是(shì)  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来(lái)的函(hán)数(shù)y=f(x)称为直接函数。

　　反(fǎn)函数和(hé)直接函(hán)数的图像关于直(zhí)线y=x对称(chēng)。

　　这(zhè)是因为，如果(guǒ)设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的定(dìng)义，有a=f-1(b)，即点(diǎn)(b,a)在(zài)反函(hán)数y=f-1(x)的图(tú)像(xiàng)上。

　　而(ér)点(a,b)和(hé)(b,a)关于直线(xiàn)y=x对称，由(a,b)的任意性可知(zhī)f和f-1关于y=x对(duì)称。

　　于是我(wǒ)们可以知道(dào)，如果两(liǎng)个函数的图(tú)像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函(hán)数。

　　这也(yě)可以看做是反函数的一个几何定义。

　　在微(wēi)积分(fēn)里，f (n)(x)是用(yòng)来指f的(de)n次(cì)微分的。

　　若一函数有(yǒu)反函数，此函数便(biàn)称为可(kě)逆(nì)的（invertible）。

　　参考(kǎo)资料：百度百科(kē)---反函(hán)数(shù)

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