函数(shù)f(x)与(yǔ)它的(de)反函数f-1(x)图象(xiàng)关于直线(xiàn)y=x对称；

　　函数及其反(fǎn)函数的图(tú)形关于直线y=x对称(chēng)；

　　函数存在反函数(shù)的充要条(tiáo)件是，函数的定(dìng)义域(yù)与(yǔ)值域是一一映(yìng)射等。

　　反函数性(xìng)质：函数(shù)f(x)与它的(de)反函数f-1(x)图(tú)象关(guān)于直线y=x对称；

　　函数及其反函数(shù)的图形关于直线(xiàn)y=x对称；

　　函数(shù)存(cún)在反(fǎn)函数的充要条件(jiàn)是，函(hán)数(shù)的定义域与值域是一一(yī)映射的。

　　1、反函数的(de)定义(yì)域是原(yuán)函数(shù)的值域，反函(hán)数的值域是原函数(shù)的定义域。

　　2、互为反函数的(de)两个函数的图像关于直线y=x对称。

　　3、原(yuán)函数若(ruò)是奇函数，则其(qí)反(fǎn)函(hán)数(shù)为奇函(hán)数。

　　4、若函数(shù)是单调函数，则一定有反函数，且(qiě)反函(hán)数的单调性(xìng)与(yǔ)原函数的一致。

　　5、原函(hán)数与反函数(shù)的图像若有交点，则交(jiāo)点一定在(zài)直线y=x上(shàng)或(huò)关于(yú)直线y=x对称(chēng)出现。

反函数有哪些(xiē)性质(zhì)

　　性质(zhì)：

　　（1）函数f(x)与它(tā)的反(fǎn)函数f-1(x)图象(xiàng)关于直线y=x对称；

　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数(shù)的(de)定义域与值域是一一映(yìng)射；

　　（3）一个函数(shù)与(yǔ)它的(de)反函数在相应区间上单调性一致；

　　（4）大部(bù)分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是(shì){0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函(hán)数f(x)是偶函数(shù)且有反函数(shù)，其反函数的(de)定义域是{C}，值域(yù)为{0} ）。

　　奇(qí)函数不(bù)一定(dìng)存在(zài)反函数，被与y轴垂直的直线截时能过(guò)2个及(jí)以上点即没有反函(hán)数。

　　腔(qiāng)神(shén)若一个(gè)奇函数存在反函数(shù)，则它的反函数也是奇森圆穗函数。

　　（5）一段连续的函数的单调(diào)性(xìng)在对应区(qū)间内具有一致(zhì)性；

　　（6）严增(zēng)（减）的函数一定有严(yán)格增（减）的反函数(shù)；

　　（7）反函数是相互的且(qiě)具(jù)有(yǒu)唯一性；

　　（8）定(dìng)义(yì)域(yù)、值域相反对应法则互逆（三反）；

　　（9）反(fǎn)函数(shù)的导数关系：如果x=f(y)在开(kāi)区间I上严格单(dān)调，可(kě)导，且f(y)≠0，那么它的(de)反函数y=f-1(x)在(zài)区间S={x|x=f(y),y∈I }内(nèi)也(yě)可导，且(qiě)：

　　（10）y=x的反函数是它(tā)本身。

　　扩(kuò)此卜展(zhǎn)资料：

　　反(fǎn)函数(shù)定义(yì)：

　　设函数y=f(x)的定(dìng)义(yì)域是D，值(zhí)域是f(D)。

　　如(rú)果对(duì)于值域f(D)中的(de)每一个y，在D中有且(qiě)只有一个x使得f(x)=y，则按此(cǐ)对应法则得(dé)到了一个定义在f(D)上(shàng)的函数。

　　并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定(dìng)义可以很快得出函数f的定(dìng)义域D和值域f(D)恰(qià)好就是反(fǎn)函数f-1的(de)值(zhí)域和定义域(yù)，并(bìng)且f-1的反函(hán)数就是f，也(yě)就是说，函数f和f-1互(hù)为反函数，即：

　　反函数与(yǔ)原函(hán)数的复合(hé)函数等于(yú)x，即(jí)：

　　习惯(guàn)上我们用(yòng)x来表示自变(biàn)量(liàng)，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数(shù)通(tōng)常写成

　　 。

　　例如，函数(shù)  

　　的(de)反函数(shù)是  。

　　相(xiāng)对于反函数(shù)y=f-1(x)来说，原来的(de)函数y=f(x)称(chēng)为(wèi)直(zhí)接函数。

　　反函(hán)数和(hé)直(zhí)接函(hán)数的图像(xiàng)关(guān)于(yú)直线y=x对称。

　　这是因为(wèi)，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据(jù)反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数(shù)y=f-1(x)的图像(xiàng)上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于(yú)直线y=x对称，由(yóu)(a,b)的任意性可(kě)知f和f-1关于(yú)y=x对称。

　　于是我们可以(yǐ)知道(dào)，如果两(liǎng)个函数的(de)图像关(guān)于(yú)y=x对称，那么这两个函数互为反函数。

　　这也(yě)可以看做是反(fǎn)函数的一个几何(hé)定义。

　　在微积分(fēn)里(lǐ)，f (n)(x)是用(yòng)来指f的n次微分的。

　　若(ruò)一函(hán)数(shù)有反函(hán)数(shù)，此函(hán)数(shù)便称为(wèi)可逆的（invertible）。

　　参考资料：百度百(bǎi)科---反函数

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